Dans les essais audio et vibratoires, l’analyse FFT (Fast Fourier Transform) est l’un des outils qu’à peu près tous les ingénieurs finissent par utiliser tôt ou tard : Réponse en fréquence de haut-parleur Distorsion des écouteurs Diagnostics NVH Dépannage des résonances structurelles Bruit de production et chasse aux « tonalités mystérieuses » Beaucoup de questions pratiques reviennent en fait à demander les mêmes quelques éléments : Où l’énergie est-elle concentrée en fréquence ? Est-elle dominée par une seule tonalité ou par un ensemble d’harmoniques ? À quel niveau se situe le bruit de fond ? Y a-t-il des pics de résonance ? La FFT est le point d’entrée le plus universel pour répondre à ces questions. Cet article vous aidera à clarifier trois points d’un point de vue ingénierie : Ce qu’est l’analyse FFT Comment la FFT fonctionne conceptuellement Comment utiliser la FFT correctement et efficacement en pratique Qu’est-ce que la FFT ? Dans le domaine temporel, un signal n’est qu’une forme d’onde qui évolue dans le temps – tous les composants étant « empilés » ensemble sur une seule trace. On peut le voir, mais il est difficile de dire quelles fréquences il contient. La FFT (Fast Fourier Transform) décompose un signal dans le domaine temporel en une somme de sinusoïdes à différentes fréquences. Dans le domaine fréquentiel, le signal est représenté par fréquence + amplitude + phase. En termes simples : Domaine temporel : comment le signal évolue dans le temps Domaine fréquentiel : quels composants fréquentiels il contient, lesquels sont les plus forts, et comment ils se rapportent les uns aux autres Historiquement, l’idée clé de Fourier (au début du XIXe siècle) était qu’une fonction périodique complexe peut être exprimée comme une somme de sinusoïdes et de cosinus. Cela a évolué vers la transformée de Fourier en temps continu, qui projette les signaux sur un axe de fréquence continu. À l’ère de l’informatique, les choses ont changé : les ingénieurs travaillent avec des données échantillonnées et ne disposent généralement que d’un enregistrement de longueur finie de N échantillons. Cela conduit à la DFT (Discrete Fourier Transform), qui met en correspondance N échantillons temporels avec N raies de fréquence discrètes. La FFT (Fast Fourier Transform) n’est pas une transformée différente. C’est une famille d’algorithmes qui calcule exactement la même DFT de manière beaucoup plus efficace : DFT directe : complexité ~ O(N²) FFT : complexité ~ O(N log N) La sortie X[k] est identique au résultat de la DFT – la FFT y parvient simplement beaucoup plus rapidement en exploitant la symétrie et le principe « diviser pour régner ». Ce à quoi la FFT est adaptée – et ce à quoi elle ne l’est pas La FFT est très performante pour : Trouver des composantes déterministes à bande étroite Tonalités fondamentales, harmoniques, fréquences de commutation, sifflements, raies liées à la vitesse Observer des distributions large bande Bruit de fond, pentes 1/f, puissance en bande, SNR Caractériser le comportement d’un système Fonctions de transfert, résonances / anti-résonances, cohérence, estimation de délai Servir de base à l’analyse temps–fréquence STFT, spectrogrammes, etc. La FFT n’est pas adaptée (ou pas suffisante à elle seule) pour : Des signaux fortement non stationnaires et la « fréquence instantanée » Pour les chirps et les contenus évoluant rapidement, il faut utiliser des STFT, ondelettes ou autres méthodes temps–fréquence, et non une seule FFT sur un long enregistrement Séparer deux tonalités extrêmement proches en dessous de votre résolution fréquentielle Si l’écart est plus petit que la résolution de vos raies (définie par N), aucun algorithme ne les résoudra « magiquement » Transformer de courtes données en « longues mesures » Le bourrage de zéros n’interpole que visuellement le spectre ; il n’ajoute pas de nouvelle information Avant d’utiliser la FFT : concepts clés à bien maîtriser Pour bien utiliser la FFT, vous devez être à l’aise avec quelques fondamentaux : Fréquence d’échantillonnage La DFT et son interprétation Ce que vous tracez réellement (module, amplitude, puissance, PSD) Fenêtrage et fuite spectrale Moyennage Fréquence d’échantillonnage : jusqu’à quelle fréquence vous pouvez « voir » Avant la FFT, vous avez déjà pris une décision cruciale : l’échantillonnage. Un signal en temps continu x(t) est transformé en une suite discrète x[n]=x(n/fs). La fréquence d’échantillonnage fsf_sfs​ détermine la fréquence la plus élevée que vous pouvez observer sans repliement spectral (aliasing) : la fréquence de Nyquist, fs/2. Si le signal analogique contient de l’énergie au-dessus de fs/2, elle ne disparaît pas – elle se replie dans la bande sous Nyquist sous forme d’aliasing. Une fois que l’aliasing s’est produit, la FFT ne peut pas « l’annuler » ; l’information est irréversiblement mélangée. En pratique, vous devez utiliser un filtre anti-repliement avant l’ADC (ou avant tout rééchantillonnage) pour supprimer les composantes au-dessus de Nyquist. Exemple : une sinusoïde de 900 Hz échantillonnée à fs=1 kHz apparaîtra à 100 Hz dans le spectre discret – un artefact classique d’aliasing. Calcul et interprétation de la DFT Étant donné N échantillons x[0]..x[N−1], la DFT est définie comme suit : La transformée inverse (IDFT) reconstruit le signal temporel : Intuitivement, X[k] vous indique à quel point le signal est fortement corrélé avec une exponentielle complexe à la fréquence de cette raie. Le module X[k] indique « combien » de ce composant fréquentiel est présent La phase encode l’alignement temporel par rapport aux autres composantes Que tracez-vous ? Module, amplitude, puissance, PSD À partir d’un seul jeu de résultats FFT X[k], vous pouvez créer de nombreux « spectres » différents qui se ressemblent mais représentent des grandeurs physiques différentes. C’est là que naît souvent la confusion entre outils et plates-formes. Les variantes courantes incluent : Spectre de module |X[k]| Les unités dépendent de la normalisation (par ex. « V·échantillons ») Utile pour localiser les pics, les harmoniques et la forme spectrale générale Spectre d’amplitude Module correctement mis à l’échelle, en unités physiques (par ex. V) Approprié pour lire les amplitudes de sinusoïdes et effectuer des mesures étalonnées Spectre de puissance |X[k]|² Là encore, l’échelle dépend de la convention ; souvent utilisé pour comparer des puissances/énergies lorsque les conventions sont fixées Densité spectrale de puissance (PSD) Sxx(f) Unités de type V²/Hz ou Pa²/Hz Utilisée pour l’analyse de bruit, la puissance en bande et les comparaisons entre différentes longueurs de FFT Si vous voulez comparer des niveaux de bruit entre différentes tailles de FFT, fenêtres ou outils, utilisez la PSD (ou la densité spectrale d’amplitude). Les valeurs brutes |X| ou  |X|² sont rarement directement comparables. Un exemple concret : deux tonalités dans le temps et en fréquence Imaginez un signal composé de deux sinusoïdes à des fréquences différentes. Dans le domaine temporel, leur somme peut ressembler à une forme d’onde « chancelante » (wobbly). Dans le domaine fréquentiel (FFT/PSD), vous verrez deux pics étroits distincts aux fréquences correspondantes. Dans l’analyse FFT d’OpenTest, vous pouvez visualiser simultanément le spectre et la PSD/ASD côte à côte, ce qui facilite : Identifier les composantes tonales Inspecter la répartition du bruit Comparer différentes conditions de fonctionnement sur la même grille de fréquences Essayez par vous-même : téléchargez l’édition OpenTest gratuite et exécutez une FFT sur un simple signal à deux tonalités pour voir clairement les deux pics séparés. Fonctions de fenêtre et fuite spectrale : nettoyer les spectres En théorie, la FFT suppose que le bloc échantillonné contient un nombre entier de périodes et qu’il est ensuite répété périodiquement. En réalité, l’enregistrement ne correspond presque jamais parfaitement à un nombre entier de cycles. Lorsque vous répétez ce bloc, vous obtenez des discontinuités aux frontières, ce qui provoque une dispersion de l’énergie dans les raies voisines — c’est la fuite spectrale. Pour réduire la fuite, on applique généralement une fonction de fenêtre à l’enregistrement temporel avant d’effectuer la FFT. Une fenêtre affecte simultanément : La largeur de la lobe principale Lobe principale plus large = pics plus étendus → il est plus difficile de séparer des tonalités proches La hauteur des lobes secondaires Des lobes secondaires plus faibles = il est plus facile de voir des petits pics près d’un grand (meilleure dynamique) L’échelle d’amplitude/d’énergie Les fenêtres modifient la relation entre l’amplitude réelle d’une sinusoïde pure et le pic observé, ainsi que le niveau de bruit de fond Quelques recommandations pratiques : Fenêtre rectangulaire À n’utiliser que lorsque vous pouvez garantir un échantillonnage cohérent (un nombre entier de périodes dans l’enregistrement) et que vous voulez la lobe principale la plus étroite possible Fenêtre de Hanning (Hann) Un choix par défaut très robuste pour les travaux généraux en acoustique et vibration Largement utilisée avec les méthodes de Welch/PSD Hamming Similaire à Hann, avec un comportement de lobes secondaires légèrement différent, courant dans les communications Blackman / Blackman–Harris Lobes secondaires plus faibles, utile lorsque vous devez voir de petits pics à côté de grands, au prix d’une lobe principale plus large Dans OpenTest, vous pouvez basculer entre différentes fonctions de fenêtre dans le module d’analyse FFT et voir immédiatement l’impact sur la largeur des pics, les lobes secondaires et le bruit de fond. Moyennage : rendre les spectres plus stables Pour des signaux bruités ou non stationnaires, une seule FFT peut paraître très « irrégulière » ou instable. En moyennant plusieurs spectres, vous obtenez un résultat plus lisse et plus reproductible. Les types de moyennage courants incluent : Moyennage linéaire Une simple moyenne arithmétique de plusieurs résultats FFT Moyennage exponentiel Les données récentes ont plus de poids ; pratique pour la surveillance en temps réel lorsque le spectre doit réagir sans fluctuer de manière excessive Moyennage d’énergie (de puissance) Basé sur la puissance ; garantit la cohérence des grandeurs liées à la puissance Une bonne configuration de moyennage trouve un équilibre entre la suppression des fluctuations aléatoires et la préservation des variations réelles du signal. Où utilisons-nous la FFT en pratique ? Audio et acoustique Les applications typiques incluent : Recherche des fréquences de larsen, de la distorsion harmonique et des bruits de fond des dispositifs Mesure de la réponse en fréquence (fonction de transfert) Analyse des modes de salle / résonances Spectrogrammes de la parole, de la musique et du bruit d’équipements En audio/acoustique, vous devez être clair sur les unités et les conventions : dB SPL, pondération A, bandes 1/3 d’octave, etc. La FFT est le moteur ; la convention de restitution (référence, pondération, largeur de bande) doit être clairement définie. Vibration et machines tournantes Identification des pics liés à la vitesse (1X, 2X, fréquences d’engrènement) Résonances structurelles et comportement modale sous différentes conditions de fonctionnement Diagnostics de roulements, sifflements d’engrenages, balourd, désalignement Pour l’analyse de roulements et de boîtes de vitesses, la détection d’enveloppe/démodulation est souvent utilisée : Filtrer le signal par un passe-bande Démoduler puis effectuer une FFT sur l’enveloppe pour révéler les fréquences de défaut Si la vitesse de rotation varie, une simple FFT « étalera » les pics. Dans ce cas, un suivi d’ordres ou un rééchantillonnage synchrone est plus approprié, transformant l’axe de « fréquence » en « ordre ». Électronique de puissance et qualité de l’énergie Harmoniques de la fréquence secteur (50/60 Hz et multiples), THD, ondulation, pointes de commutation Vérifications EMI de pré-conformité : raies spectrales, bruit de fond, puissance en bande Dans les systèmes de puissance, l’échantillonnage non cohérent est un problème courant : si la durée d’enregistrement n’est pas un nombre entier de cycles secteur, la fuite dégrade la précision des harmoniques. Les solutions incluent l’échantillonnage synchrone, des fenêtres sur un nombre entier de cycles ou des analyseurs d’harmoniques spécialisés. RF et communications (vue bande de base) Spectres de signaux modulés et masques spectraux Analyse spectrale OFDM et multiporteuse, fuite vers les canaux adjacents Ici, la cohérence est primordiale : Mêmes unités Même largeur de bande de résolution (RBW) Même fenêtre, même détecteur et même style de moyennage La FFT en elle-même est simple ; la transformer en mesures de puissance comparables nécessite des réglages précisément définis. Imagerie et filtrage 2D La FFT 2D étend la même idée aux images : Les contours correspondent aux hautes fréquences spatiales ; les zones uniformes aux basses fréquences Filtrage passe-bas / passe-haut, suppression du bruit périodique, accélération des convolutions dans le domaine fréquentiel La même hypothèse d’extension périodique s’applique désormais en 2D : les discontinuités aux bords de l’image produisent de forts artefacts dans le domaine fréquentiel. Le bourrage, les bords réfléchis ou les fenêtres 2D sont des moyens courants d’atténuer ce phénomène. Faire de la FFT un outil d’ingénierie au quotidien D’un point de vue mathématique, la FFT n’est pas particulièrement « légère ». Mais dans l’utilisation en ingénierie, l’objectif est en réalité simple : Voir plus clairement et beaucoup plus rapidement ce qui est caché à l’intérieur du signal. Lorsque vous comprenez : Ce que la FFT calcule réellement Comment l’échantillonnage, le fenêtrage, l’échelle et le moyennage affectent le résultat Quand utiliser des spectres plutôt que la PSD, et quels réglages sont importants pour votre cas d’usage … alors la FFT cesse d’être un sujet mathématique abstrait et devient un outil pratique du quotidien pour les travaux en acoustique et vibration – de la R&D et la validation jusqu’aux essais de production. Téléchargez et commencez dès maintenant -> ou remplissez le formulaire ci-dessous ↓ pour planifier une démonstration en direct. 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L’analyse en bandes d’octave peut être mise en œuvre de deux façons fondamentalement différentes : le regroupement de raies FFT (intégration des raies de PSD/FFT en bandes d’octave entières 1/1 et fractionnaires 1/3) et un véritable banc de filtres en bandes d’octave (filtres passe‑bande orientés normes + moyennage RMS/Leq). Dans cet article, nous comparons le fonctionnement de ces deux méthodes, les cas où leurs résultats coïncident, ceux où ils divergent (échelle, ENBW de fenêtre, pondération aux bords de bande, latence, réponse aux transitoires), et la manière dont OpenTest prend en charge les deux approches pour l’acoustique, le NVH et les mesures de conformité. Pour une explication détaillée des concepts, lisez ceci → Analyse en bandes d’octave : fondements mathématiques et ingénierie Bancs de filtres en bandes d’octave (véritable banc d’octave / banc de filtres CPB) Filtres passe‑bande parallèles + détecteur d’énergie + moyennage temporel Un analyseur par banc de filtres (véritable octave) réalise généralement : Concevoir un filtre passe‑bande H_b(z) (ou H_b(s)) pour chaque fréquence centrale de bande. Faire fonctionner les filtres en parallèle pour obtenir les signaux de bande y_b(t). Calculer la puissance / la valeur quadratique moyenne de la bande et appliquer un moyennage temporel pour produire les niveaux de bande en sortie. Pour être comparables entre instruments, les réponses en module des filtres doivent respecter les masques de tolérance (classe) IEC/ANSI pour le jeu de filtres spécifié. [1][3] IIR vs FIR : pourquoi les IIR (biquads en cascade) sont courants en pratique Avantages des IIR : ordre plus faible pour une pente donnée, calcul réduit, adaptés au temps réel / systèmes embarqués ; stables lorsqu’ils sont mis en œuvre en SOS/biquads. Avantages des FIR : une phase linéaire est possible (utile lorsque la forme d’onde importe) ; la conception et la vérification peuvent être plus simples. Pour les sorties en niveaux de bande, la phase n’est généralement pas la principale préoccupation, de sorte que les bancs de filtres IIR sont courants. Traitement multirate : « l’arme secrète » des bancs de filtres CPB Les bandes CPB de basses fréquences sont très étroites. Les implémenter à la fréquence d’échantillonnage complète est inefficace. Une stratégie courante consiste à regrouper les bandes par octave et à sous‑échantillonner pour les groupes de basses fréquences : Effectuer un passe‑bas puis décimer (par ex. par 2 par octave) pour les groupes de basses fréquences. Implémenter les filtres passe‑bande correspondants à la fréquence d’échantillonnage réduite. Assurer un anti‑repliement (anti‑aliasing) adéquat avant la décimation. Moyennage temporel / pondération temporelle : les niveaux de bande sont des statistiques, pas des valeurs instantanées Les niveaux de bande nécessitent généralement un moyennage temporel. Les options courantes incluent le RMS par blocs, le moyennage exponentiel ou le Leq (niveau d’énergie équivalente). Dans le contexte des sonomètres, la norme IEC 61672‑1 définit les pondérations temporelles Rapide / Lente (Rapide ~125 ms, Lente ~1 s). [5][6] Conséquence pour l’ingénierie : des constantes de temps différentes produisent des lectures différentes, la pondération temporelle doit donc être précisée dans les rapports. Comment valider qu’un banc de filtres se comporte « comme la norme » Balayage sinusoïdal : vérifier le comportement en bande passante et l’isolation des bandes adjacentes ; observer les effets de délai temporel. Bruit rose/blanc : vérifier les niveaux de bande moyens et la variance / le temps de stabilisation ; contrôler le comportement de la bande passante effective. Impulsion / échelon : examiner la sonnerie (ringing) et la réponse temporelle (critique pour les transitoires). Vérifier par recoupement avec un instrument / une implémentation de référence conforme connue. Des définitions de bandes aux filtres numériques conformes : un flux de travail de bout en bout (conceptuel) Choisir le système de bandes : base 10 / base 2, la fraction 1/b (généralement b=3), générer les fréquences centrales exactes fm et les bords de bande f1/f2. Choisir l’objectif de performance : quelle édition de norme et quelle classe / quel masque de tolérance ? Choisir la structure de filtre : IIR en SOS pour le temps réel ; FIR ou filtrage aller‑retour si une phase nulle / à phase linéaire est requise. Concevoir chaque passe‑bande : projeter correctement f1/f2 dans le domaine numérique (par ex. pré‑déformation pour la transformée bilinéaire). Mettre en œuvre le multirate si nécessaire : décimer pour les groupes de basses fréquences avec un filtrage anti‑repliement suffisant. Vérifier : réponse en module par rapport au masque ; essais sur bruit pour la bande passante effective ; balayages / impulsions pour la réponse temporelle. Calibrer et documenter : unités et grandeurs de référence, moyennage / pondération temporelle, détails de la méthode. Réponse temporelle expliquée : retard de groupe, sonnerie et moyennage façonnent tous les lectures Un analyseur de niveaux par bande est un système en domaine temporel (filtre → détecteur d’énergie → lisseur), de sorte que les lectures sont régies par plusieurs échelles de temps : Retard de groupe du filtre : à quel retard les événements apparaissent‑ils dans chaque bande. Sonnerie / décroissance du filtre : pendant combien de temps une impulsion courte « résonne » dans une bande. Moyennage d’énergie / pondération temporelle : compromis entre résolution temporelle et fluctuation du niveau de sortie. Ainsi, pour les transitoires (impacts, démarrages/arrêts, balayages), différentes implémentations conformes peuvent produire des niveaux de crête et des évolutions temporelles différents — ce qui est cohérent avec la mise en garde de l’ANSI. [3] Règle empirique : pour les contributions en régime établi, utiliser un moyennage plus long pour plus de stabilité ; pour la localisation de transitoires, raccourcir le moyennage mais accepter une plus grande variabilité et figer précisément les détails de l’algorithme. Pièges courants en temps réel Oublier l’anti‑repliement dans la chaîne de décimation : les bandes de basses fréquences deviennent contaminées par l’aliasing. Instabilité numérique des sections IIR à fort Q et basses fréquences : utiliser des SOS/biquads et une précision suffisante. Moyennage en dB : toujours moyenner dans le domaine de l’énergie / de la valeur quadratique moyenne, puis convertir en dB. Supposer que les énergies de bande doivent se sommer exactement à l’énergie totale : les filtres normalisés ne sont pas nécessairement complémentaire en puissance ; vérifier plutôt selon des critères cohérents avec les normes. Analyse en bancs de filtres en bandes d’octave dans OpenTest OpenTest prend en charge l’analyse en bandes d’octave en utilisant une approche par banc de filtres :1) Connectez le dispositif, par exemple SonoDAQ Pro2) Sélectionnez les voies et ajustez les paramètres. Pour un microphone externe, activez l’IEPE et passez en mode de mesure de signal acoustique.3) Dans la section Octave-Band Analysis sous Mode de mesure, choisissez l’algorithme conforme à l’IEC 61260‑1. Il prend en charge l’analyse en temps réel, le moyennage linéaire, le moyennage exponentiel et la fonction de maintien de crête (peak hold).4) Après avoir configuré les paramètres, cliquez sur le bouton Test pour démarrer la mesure.5) Un enregistrement unique peut être analysé simultanément en bandes 1/1 d’octave, 1/3 d’octave, 1/6 d’octave, 1/12 d’octave, 1/24 d’octave et 1/24 d’octave. Figure 1 : analyse en bancs de filtres en bandes d’octave dans OpenTest Regroupement FFT (FFT binning) et synthèse FFT Regroupement FFT : convertir un spectre étroit en intégrales de bandes CPB Estimer le spectre (FFT unique, PSD de Welch ou STFT). Intégrer / sommer à l’intérieur de chaque bande d’octave / de fraction d’octave pour obtenir la puissance de bande. Cette approche est courante dans les traitements logiciels / hors ligne, car une seule FFT fournit un spectre à haute résolution qui peut être re‑regroupé dans n’importe quel système de bandes (1/1, 1/3, 1/12, …). Défi clé n°1 : mise à l’échelle FFT et corrections de fenêtre Après une FFT, la mise à l’échelle dépend de vos définitions : normalisation 1/N, amplitude vs puissance vs PSD, spectre simple face vs double face, et fenêtrage. Pour les mesures de bruit, l’ENBW est cruciale ; l’ignorer peut introduire des décalages systématiques. [7] Une normalisation PSD pratique (forme périodogramme) # convertir en PSD simple face : multiplier par 2 sauf DC (et Nyquist si présent) Cela donne une PSD en unités (unité d’entrée)²/Hz et permet des vérifications de cohérence énergétique en intégrant la PSD sur la fréquence. Deux auto‑contrôles rapides pour la mise à l’échelle Test sur bruit blanc : générer un bruit de variance connue σ² ; intégrer la PSD simple face sur 0..fs/2 et retrouver ≈σ² (en tenant compte du facteur ×2). Test sur tonalité pure : générer un sinus d’amplitude A (RMS=A/√2) ; l’intégration de l’énergie spectrale doit retrouver ≈A²/2 (sous réserve de la fuite et du choix de la fenêtre). Si les deux tests sont satisfaits, votre mise à l’échelle FFT est probablement correcte ; le pondération partielle des raies et le regroupement en bandes d’octave deviennent alors pertinents. Défi clé n°2 : les bords de bande coïncident rarement avec les raies → pondération partielle des raies Des décisions tout‑ou‑rien aux bords de bande provoquent des erreurs en escalier, particulièrement aux basses fréquences où les bandes sont étroites. Utiliser une pondération basée sur le chevauchement (section 4.2.4) pour les raies situées aux frontières de bande. La mise à zéro (zero‑padding) résout‑elle le problème de désalignement des bords ? (idée reçue courante) Le zero‑padding interpole le spectre affiché mais n’améliore pas la vraie résolution fréquentielle (qui est fixée par la longueur de la fenêtre d’origine). Il peut réduire l’effet « en escalier » visuel mais ne peut pas transformer des bandes de basses fréquences ne contenant qu’1–2 raies en estimations fiables de niveaux de bande. Les solutions fondamentales sont des fenêtres plus longues ou le traitement multirate / les bancs de filtres. Défi clé n°3 : compromis temps–fréquence (la longueur de fenêtre fixe la précision en basses fréquences et le délai) La résolution FFT est Δf = fs/N. Les bandes 1/3 d’octave de basses fréquences peuvent ne faire que quelques hertz de large, de sorte qu’obtenir suffisamment de raies par bande nécessite un N très grand, ce qui augmente la latence et lissage des transitoires. Cause fondamentale : le 1/3 d’octave est à Q constant, alors que la STFT utilise des raies de pas fréquentiel constant Δf En CPB, la largeur de bande est proportionnelle à la fréquence (Δf_bande ∝ f, Q constant). En STFT, l’espacement des raies est constant (Δf_raie constant). Par conséquent, aux basses fréquences CPB nécessite un Δf_raie extrêmement fin (fenêtres longues), tandis qu’aux hautes fréquences la résolution est surabondante. Pistes de solution : STFT à fenêtre longue vs STFT multirate vs CQT / ondelettes STFT à fenêtre longue : la plus simple, mais avec une latence élevée et un lissage important des transitoires. STFT multirate : sous‑échantillonner le contenu de basses fréquences et appliquer la FFT à une fréquence fs plus faible, de manière analogue aux bancs de filtres multirate. Transformée à Q constant (CQT) / ondelettes : résolution naturellement logarithmique, mais l’adaptation aux masques IEC/ANSI exige une calibration / validation supplémentaire. [4] Pour les mesures de conformité, les bancs de filtres orientés normes sont préférés ; pour la recherche / l’extraction de descripteurs, la CQT / les ondelettes peuvent être attractives. Synthèse FFT : construction d’un filtrage par bande dans le domaine fréquentiel La synthèse FFT rapproche l’approche FFT d’un banc de filtres : Définir un poids fréquentiel W_b[k] par bande (mur de brique ou lisse / inspiré du masque). Calculer Y_b[k] = X[k]·W_b[k] puis appliquer l’IFFT pour obtenir y_b[n]. Calculer le RMS / les moyennes de bande à partir de y_b[n]. Cette approche permet facilement d’implémenter un filtrage à phase nulle (non causal). Pour une conformité stricte aux normes IEC/ANSI, W_b et la normalisation doivent être soigneusement conçus et validés. Rendre la synthèse FFT pseudo‑continue : OLA, double fenêtrage et normalisation d’amplitude Pour produire des signaux temporels continus par bande, utilisez l’overlap‑add (OLA) : segmentation, fenêtrage, FFT, application de W_b, IFFT, fenêtre de synthèse puis OLA. Choisir des fenêtres d’analyse / de synthèse satisfaisant les conditions COLA (constant overlap‑add), par ex. Hann avec recouvrement de 50 %, afin d’éviter une modulation périodique du niveau. Si l’objectif est de reproduire les filtres normalisés, comment choisir W_b ? W_b[k] dépend de ce que vous cherchez à reproduire : Reproduire l’intégration à bords abrupts : W_b vaut strictement 0/1 à l’intérieur de [f1,f2]. Reproduire le comportement des filtres IEC/ANSI : |W_b(f)| approxime le masque normalisé et la bande passante effective (fait correspondre ∫|W_b|²). Reproduire la complémentarité énergétique pour la reconstruction : concevoir Σ_b |W_b(f)|² ≈ 1 (section 7.6). Vous ne pouvez généralement pas satisfaire parfaitement ces trois critères simultanément ; définissez votre priorité (conformité vs décomposition / reconstruction) dès le départ. Bancs de filtres fréquentiels conservant l’énergie : pourquoi Σ|W_b|² est important Si vous souhaitez que les énergies de bande se somment à l’énergie totale (à l’erreur numérique près), une conception courante vise une complémentarité de puissance approchée : Les masques IEC/ANSI n’imposent pas nécessairement une stricte complémentarité, il ne faut donc pas supposer une additivité exacte en contexte de conformité. Stratégies de Welch / de moyennage : comment rendre les niveaux de bande FFT stables Utiliser le moyennage de Welch (segmenter, fenêtrer, recouvrir, moyenner les spectres de puissance). Moyenner dans le domaine de la puissance (|X|² ou PSD), puis convertir en dB. Pour les signaux non stationnaires, envisager la STFT afin d’obtenir des matrices temps–bande. Indiquer dans le rapport le type de fenêtre, le recouvrement, le nombre de moyennes et le traitement ENBW/CG. Analyse par regroupement FFT dans OpenTest OpenTest prend en charge l’analyse en bandes d’octave basée sur le regroupement FFT :1) Connectez le dispositif, par exempleSonoDAQ Pro2) Sélectionnez les voies et ajustez les paramètres. Pour un microphone externe, activez l’IEPE et passez en mode de mesure de signal acoustique.3) Dans la section Octave-Band Analysis sous Mode de mesure, choisissez l’algorithme basé sur la FFT.4) Un enregistrement unique peut être analysé simultanément en bandes 1/1 d’octave, 1/3 d’octave, 1/6 d’octave, 1/12 d’octave et 1/24 d’octave. Figure 2 : analyse en bandes d’octave par regroupement FFT dans OpenTest Banc de filtres vs FFT / synthèse FFT : différences, conditions d’équivalence et compromis Tableau comparatif DimensionBanc de filtres (véritable octave / CPB)Regroupement FFT / synthèse FFTConformité aux normesPlus simple à faire correspondre aux masques de module IEC/ANSI ; approche dominante pour les instruments matériels. [1][3]Un regroupement strict se comporte comme une intégration de bande ; l’adaptation aux masques nécessite une pondération supplémentaire ou des filtres numériques conformes aux normes.Temps réel / latenceTemps réel causal possible ; la latence est fixée par l’ordre des filtres et le moyennage.Le traitement par blocs ajoute au moins une longueur de fenêtre de délai ; la résolution en basses fréquences impose souvent des fenêtres plus longues.Réponse aux transitoiresSortie continue mais affectée par le retard de groupe / la sonnerie ; différentes implémentations conformes peuvent diverger. [3]Fixée par le fenêtrage STFT ; les transitoires sont lissés par les fenêtres et sensibles au type / à la longueur de la fenêtre.Fuite spectrale & correctionsContrôlée via la conception des filtres ; la fuite peut être maîtrisée.Dépend fortement de la fenêtre et de l’ENBW / de la mise à l’échelle ; le désalignement des raies aux bords de bande nécessite une pondération partielle. [7]InterprétabilitéRMS après filtrage passe‑bande — en phase avec les sonomètres et analyseurs.Estimation spectrale + regroupement — plus statistique ; l’interprétation dépend des réglages de fenêtre / moyennage.CalculDe nombreux filtres en parallèle ; le multirate peut réduire le coût.Une seule FFT peut servir à toutes les bandes ; efficace hors ligne / en mode batch.Phase & reconstructionLes IIR ont généralement une phase non linéaire (acceptable pour les niveaux).Les poids fréquentiels peuvent être à phase nulle ; la reconstruction nécessite une attention particulière à la complémentarité et aux transitions. Dans quels cas les deux méthodes donnent‑elles (presque) les mêmes résultats ? Les résultats moyennés par bande coïncident généralement de près lorsque : Vous comparez des niveaux de bande moyennés (et non des courbes de crête transitoires). Le signal est approximativement stationnaire et la durée d’observation est suffisamment longue. La résolution FFT est suffisamment fine pour que chaque bande contienne assez de raies (en particulier pour la bande la plus basse). La mise à l’échelle FFT est correcte (traitement du spectre simple face, Δf, normalisation de fenêtre U, ENBW/CG si nécessaire). Une pondération partielle des raies est utilisée aux bords de bande. Pourquoi les différences augmentent pour les transitoires et les événements courts Les différences sont induites par des échelles de temps non concordantes : les bancs de filtres ont un retard de groupe et une sonnerie dépendant de la bande mais une sortie continue ; la STFT utilise une fenêtre fixe qui définit à la fois la résolution fréquentielle et le lissage temporel. Si la durée de l’événement est comparable à la longueur de la fenêtre ou à la réponse impulsionnelle du filtre, les résultats dépendent fortement des détails d’implémentation. Bilan d’erreur : d’où viennent généralement les divergences (et comment les localiser rapidement) Mauvais moyennage / combinaison en dB : il faut toujours moyenner et sommer dans le domaine de l’énergie. Mise à l’échelle FFT incohérente : conventions 1/N, spectre simple face vs double face, Δf, normalisation de fenêtre U. Oublier les corrections de fenêtre : ENBW pour le bruit ; gain cohérent / fuite pour les tonalités. Utilisation des fréquences nominales pour calculer les bords de bande au lieu des définitions exactes. Absence de pondération partielle des raies aux frontières de bande (particulièrement préjudiciable aux basses fréquences). Problèmes de multirate / anti‑repliement dans les bancs de filtres. Constantes de temps / fenêtres de moyennage différentes entre méthodes. Vraies différences de méthode : l’intégration à bords abrupts (brick‑wall) par regroupement de raies vs les jupes / pentes progressives des filtres normalisés induisent des décalages systématiques. Une forte approche de débogage : commencer par faire correspondre la valeur quadratique moyenne totale en utilisant du bruit blanc (mise à l’échelle / ENBW / pondération partielle des raies), puis valider les fréquences centrales de bande et l’isolation des bandes adjacentes à l’aide de balayages sinusoïdaux ou de tonalités. Liste de contrôle d’ingénierie : rendre l’analyse 1/3 d’octave correcte, stable et reproductible Choisir une méthode : conformité → banc de filtres ; statistiques hors ligne → regroupement FFT Pour les réglementations / essais de type / comparabilité des instruments : privilégier les bancs de filtres conformes IEC/ANSI et indiquer l’édition de la norme et la classe. [1][3] Pour le traitement hors ligne, les grands jeux de données ou des définitions de bandes flexibles : le regroupement FFT peut être efficace, mais la mise à l’échelle et la pondération aux frontières doivent être rigoureuses. Si vous avez besoin de signaux temporels par bande (modulation, enveloppe, etc.) : envisager la synthèse FFT ou des bancs de filtres explicites. Choix des paramètres FFT à partir de la bande la plus basse (exemple) Exemple : fs=48 kHz, bande de plus basse fréquence d’intérêt : 20 Hz (1/3 d’octave). Sa largeur de bande n’est que de quelques hertz. Si vous voulez au moins M=10 raies par bande, vous pouvez avoir besoin de Δf_raie ≤ largeur de bande/10, ce qui implique un N très grand (par ex. ~100 k points ; 2^17=131072). Cela illustre pourquoi, en temps réel et pour la conformité, on privilégie souvent les bancs de filtres. Erreurs typiques qui empêchent la concordance des résultats Sommer la magnitude |X| au lieu de la puissance |X|² ou de la PSD. Moyenner en dB au lieu de moyenner en puissance / valeur quadratique moyenne linéaire. Ignorer l’ENBW / la mise à l’échelle de la fenêtre pour le bruit. [7] Calculer les bords de bande à partir des fréquences nominales. Ne pas préciser les conventions de pondération / de moyennage temporel (Rapide / Lent / Leq). [5][6] Flux de validation recommandé (quelle que soit l’implémentation) Test de tonalité au centre (ou balayage) : vérifier que l’énergie culmine dans la bonne bande et que le rejet des bandes adjacentes est conforme aux attentes. Bruit blanc / rose : vérifier la forme spectrale attendue en niveaux de bande et évaluer la stabilité / le temps de moyennage. Comparaison inter‑implémentations : comparer votre implémentation à une référence connue sur des signaux identiques ; isoler les différences de mise à l’échelle, de définition et de jupe de filtre. Consigner et figer les paramètres (définition de bande, fenêtrage, moyennage) dans le rapport d’essai. Liste de contrôle pour la reproductibilité : inclure ces éléments dans les rapports afin que d’autres puissent recalculer vos niveaux Définition des bandes : base 10 ou base 2 ? b dans 1/b ? valeurs exactes ou nominales utilisées pour le calcul ? fréquence de référence fr ? Implémentation : banc de filtres normalisé (IIR/FIR, multirate) vs regroupement / synthèse FFT ; versions des logiciels / bibliothèques. Échantillonnage / prétraitement : fs, suppression de tendance / suppression de la composante continue, filtrage anti‑repliement, rééchantillonnage. Moyennage temporel : Leq / RMS par blocs / exponentiel ; constantes de temps, taille de bloc, recouvrement, nombre de trames moyennées ; contexte Rapide / Lent si pertinent. Détails FFT (le cas échéant) : type de fenêtre, N, pas de trame (hop), zero‑padding, normalisation de la PSD, traitement simple face, ENBW / gain cohérent, pondération partielle des raies. Calibration / unités : unités d’entrée et grandeurs de référence (par ex. 20 µPa), facteurs de calibration des capteurs et dates. Définition de la sortie : RMS vs crête vs puissance de bande ; conventions 10log vs 20log ; éventuelles étapes d’agrégation de bandes. Si vous ne devez retenir qu’une phrase : documentez « définition de bande + moyennage temporel + traitement de la mise à l’échelle / du fenêtrage FFT (le cas échéant) ». La plupart des désaccords disparaissent. Formules rapides et exemple numérique (prêts pour le code / le rapport) Constantes pour les bandes un tiers d’octave en base 10 G = 10^(3/10) ≈ 1.995262 r = 10^(1/10) ≈ 1.258925 # adjacent center-frequency ratio k = 10^(1/20) ≈ 1.122018 # edge multiplier about center f1 = fm / k f2 = fm * k Exemple : la bande un tiers d’octave à 1 kHz fm = 1000 Hz f1 = 1000 / 1.122018 ≈ 891.25 Hz f2 = 1000 * 1.122018 ≈ 1122.02 Hz Δf ≈ 230.77 Hz Q ≈ 4.33 OpenTest intègre les deux méthodes. Téléchargez‑le et commencez dès maintenant -> ou remplissez le formulaire ci‑dessous ↓ pour planifier une démonstration en direct. Découvrez plus de fonctionnalités et de cas d’application sur www.opentest.com. Références [1] Extrait PDF IEC 61260‑1:2014 (iTeh) : https://cdn.standards.iteh.ai/samples/13383/3c4ae3e762b540cc8111744cb8f0ae8e/IEC-61260-1-2014.pdf [3] Aperçu PDF ANSI S1.11‑2004 (ASA/ANSI) : https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BS1.11-2004.pdf [4] Note d’application HEAD acoustics : FFT - Analyse 1/n d’octave - Ondelette (description de banc de filtres) : https://cdn.head-acoustics.com/fileadmin/data/global/Application-Notes/SVP/FFT-nthOctave-Wavelet_e.pdf [5] IEC 61672‑1:2013 (page IEC) : https://webstore.iec.ch/en/publication/5708 [6] NTi Audio Know‑how : pondération temporelle Rapide / Lente (contexte IEC 61672‑1) : https://www.nti-audio.com/en/support/know-how/fast-slow-impulse-time-weighting-what-do-they-mean [7] MathWorks : exemple de définition de l’ENBW : https://www.mathworks.com/help/signal/ref/enbw.html

L’analyse en bandes d’octave convertit des spectres détaillés en bandes d’octave et de tiers d’octave normalisées (1/1 et 1/3) en utilisant une largeur de bande à pourcentage constant sur un axe de fréquence logarithmique. Dans cet article, nous expliquons le fondement mathématique des CPB (bandes à pourcentage constant), pourquoi l’IEC 61260-1 et l’ANSI S1.11 définissent les bandes d’octave comme elles le font, et comment les niveaux de bande sont calculés en pratique (regroupement de bacs FFT vs RMS par banque de filtres). Objectif : obtenir des résultats répétables et comparables pour les mesures acoustiques, NVH et de conformité. Qu’est-ce que l’analyse en bandes d’octave et à quel problème répond-elle ? L’analyse en bandes d’octave est une famille de méthodes d’analyse de spectre qui partitionnent l’axe de fréquence, sur une échelle logarithmique, en bandes passe‑bande. Chaque bande présente un rapport constant entre ses fréquences de coupure supérieure et inférieure (largeur de bande à pourcentage constant, CPB). À l’intérieur de chaque bande, nous ignorons les fins détails du spectre en raies et nous nous concentrons sur l’énergie totale / la valeur RMS (ou la puissance) dans cette bande. En d’autres termes, il ne s’agit pas de « ce qui se passe à chaque hertz », mais de « comment l’énergie est répartie sur des largeurs de bande relatives égales ». Cette représentation correspond naturellement à l’audition humaine et à de nombreux systèmes d’ingénierie, dont la résolution fréquentielle est souvent plus proche d’une échelle relative (logarithmique) que d’une échelle en hertz fixe. C’est un format de rapport courant exigé par de nombreuses normes : les paramètres d’acoustique des salles, les indices d’isolation acoustique, le bruit environnemental, le bruit des machines, le bruit de vent/de roulement, etc. utilisent souvent les bandes de tiers d’octave (1/3). Des hertz linéaires à la fréquence logarithmique : pourquoi les CPB ressemblent davantage à un langage d’ingénierie L’utilisation de bacs de fréquence de largeur égale (par exemple tous les 10 Hz) pour accumuler l’énergie conduit à un comportement incohérent sur le spectre : Aux basses fréquences, un bac de 10 Hz peut être trop large et lisser les détails. Aux hautes fréquences, un bac de 10 Hz peut être trop étroit, ce qui entraîne une variance plus élevée et des estimations moins stables pour le bruit aléatoire. En revanche, la largeur de bande CPB croît avec la fréquence (Δf ∝ f). Chaque bande couvre une variation relative similaire, ce qui améliore la stabilité et la répétabilité—des points essentiels pour les essais normalisés. Une intuition visuelle : la largeur de bande augmente sur un axe linéaire, mais reste uniforme sur un axe logarithmique Figure 1 : les mêmes bandes de tiers d’octave tracées sur un axe de fréquence linéaire—la largeur de bande paraît plus grande aux hautes fréquences Chaque segment horizontal représente une bande de tiers d’octave [f1, f2] ; la petite marque verticale est la fréquence centrale de la bande fm. Sur un axe linéaire, les bandes de plus haute fréquence paraissent plus larges. Figure 2 : les mêmes bandes sur un axe de fréquence logarithmique—les bandes deviennent régulièrement espacées (l’essence des CPB) Une fois que l’axe horizontal est logarithmique, ces bandes apparaissent de largeur/espacement égaux ; c’est exactement ce que signifie « largeur de bande à pourcentage constant ». Ces deux figures capturent l’idée centrale : l’analyse en bandes d’octave utilise des pas égaux sur une échelle de fréquence logarithmique, et non des pas égaux en hertz. Normes et terminologie : que spécifient réellement les systèmes IEC/ANSI/ISO ? En pratique, « faire une analyse en bandes de tiers d’octave » est soumis à plus de contraintes que les seuls bords de bande. Les normes spécifient (ou impliquent fortement) : la manière dont les fréquences centrales sont définies (exactes vs nominales), la définition du rapport d’octave (base 10 vs base 2), les tolérances/classes de filtres, et même les conventions de mesure/de moyennage utilisées pour former les niveaux de bande. Points clés de l’IEC 61260-1:2014 : rapport en base 10, fréquence de référence et formules de fréquence centrale L’IEC 61260-1:2014 est une spécification clé pour les filtres de bandes d’octave et de bandes de fraction d’octave. Elle adopte une conception en base 10 : le rapport de fréquence d’octave est G = 10^(3/10) ≈ 1,99526 (très proche de 2, mais pas exactement égal à 2). La fréquence de référence est fr = 1000 Hz. Elle fournit des formules pour les fréquences médianes (centrales) exactes et précise que la moyenne géométrique des fréquences de bord de bande est égale à la fréquence centrale. [1] Formules clés (réorganisées à partir de la norme) : [1] Si le dénominateur fractionnaire b est impair (par exemple 1, 3, 5, …) : Si b est pair (par exemple 2, 4, 6, …) : Et toujours : Pourquoi le cas b pair semble‑t‑il « décalé d’un demi‑pas » ? Intuitivement, la grille des fréquences centrales est régulièrement espacée sur log(f). Lorsque b est pair, l’IEC choisit un décalage d’un demi‑pas par rapport à fr afin que les bords de bande s’alignent plus proprement avec les conventions de rapport courantes. En pratique, une mise en œuvre robuste consiste à générer la séquence exacte de fm à l’aide de la formule de la norme, puis à calculer les bords via f1 = fm / G^(1/(2b)) et f2 = fm * G^(1/(2b)), et seulement ensuite à étiqueter les bandes avec les fréquences nominales habituelles. Afficher les données avec OpenTest (analyse en bandes d’octave IEC 61260-1) -> Bords de bande, fréquence centrale et désignateur de largeur de bande b Les normes utilisent couramment 1/b comme « désignateur de largeur de bande » : 1/1 correspond à une octave, 1/3 à un tiers d’octave, etc. [1] Une fois (G, b, fr) choisis, l’ensemble complet de bandes (centres et bords) est fixé mathématiquement. Exacte vs nominale : pourquoi deux « fréquences centrales » apparaissent‑elles pour la même bande ? Les fréquences centrales « exactes » sont utilisées pour les définitions mathématiquement cohérentes et la conception des filtres ; les valeurs « nominales » servent à l’étiquetage et aux rapports. [1] L’ISO 266:1997 définit les fréquences préférentielles pour les mesures acoustiques à partir des séries de nombres préférentiels ISO 3 (R10), référencées à 1000 Hz. [2] En conséquence, la suite géométrique exacte est généralement étiquetée avec des valeurs nominales familières telles que : 20, 25, 31,5, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, …, 1k, 1,25k, 1,6k, 2k, 2,5k, 3,15k, …, 20k. Conseil de mise en œuvre : calculez les bords à partir des fréquences exactes ; arrondissez/affichez uniquement sous forme nominale. Cela permet d’éviter de s’écarter de la norme. Base 10 vs base 2 : pourquoi les normes n’exigent‑elles pas une octave exactement 2:1 ? Bien que l’« octave » soit souvent considérée comme un rapport 2:1, l’IEC 61260-1 spécifie la base 10 (G = 10^(3/10)) plutôt que G = 2. Les principales motivations incluent : Alignement avec les séries décimales de nombres préférentiels (l’ISO 266 est liée à R10). [2] Homogénéité internationale : l’IEC 61260-1:2014 spécifie la base 10 et souligne que les conceptions en base 2 ont moins de chances de rester conformes loin de la fréquence de référence. [1] En base 10, un tiers d’octave correspond à 10^(1/10) ≈ 1,258925 (interprétable aussi comme 1/10 de décade), ce qui donne une correspondance simple : 10 bandes de tiers d’octave par décade. « 10 bandes de tiers d’octave = 1 décade » : pourquoi est‑ce important ? Avec un espacement en tiers d’octave base 10, chaque pas multiplie la fréquence par r = 10^(1/10). Donc : 10 bandes de tiers d’octave consécutives multiplient la fréquence exactement par 10 (une décade). Cela correspond aux conventions ISO 266/R10 et simplifie les tableaux, la représentation graphique et la communication. La normalisation valorise autant la lisibilité et la cohérence que la pureté mathématique brute. Figure 3 : espacement en tiers d’octave base 10—10 pas de rapport égaux par décade (×10 en fréquence) ANSI S1.11 / ANSI/ASA S1.11 : classes de tolérance et avertissement concernant les signaux transitoires L’ANSI S1.11 (et les adoptions ultérieures ANSI/ASA alignées sur l’IEC 61260-1) spécifient les exigences de performance pour les jeux de filtres et les analyseurs, y compris les classes de tolérance (souvent classes 0/1/2 selon l’édition). [3][4] Un avertissement pratique dans les documents ANSI : pour les signaux transitoires, différentes implémentations conformes peuvent produire des résultats différents. [3] Cela met en évidence que la réponse temporelle (délai de groupe, oscillations, constantes de temps de moyennage) est importante pour l’analyse des transitoires. Que contrôlent réellement la classe, le masque et la largeur de bande effective ? « J’ai utilisé des bandes de tiers d’octave » ne concerne pas seulement les bords de bande nominaux. Les normes visent à garantir que différents instruments/algorithmes produisent des résultats comparables en contraignant : L’espacement fréquentiel : séquence de fréquences centrales et définitions des bords (base 10, exacte/nominale, f1/f2). La tolérance de la réponse en magnitude (masque) : ondulation admissible près de la bande passante et atténuation requise loin du centre. La cohérence de l’énergie pour le bruit large bande : contraintes sur la largeur de bande effective afin que les niveaux de bande soient comparables entre implémentations. La largeur de bande effective est importante parce que les filtres réels ne sont pas des murs de brique idéaux. Pour le bruit large bande, l’énergie de sortie dépend de ∫|H(f)|² S(f)df. Les différences d’ondulation dans la bande passante, de pieds de bande et de pente d’atténuation peuvent provoquer des décalages systématiques. Les normes contraignent la largeur de bande effective pour maintenir ces décalages dans des limites acceptables. [1][3][4] L’avertissement concernant les transitoires n’est pas une contradiction : les masques contraignent principalement le comportement fréquentiel à l’état stationnaire, tandis que les transitoires dépendent de la phase/du délai de groupe, des oscillations et du moyennage temporel. [3] Mathématiques : définitions de bande, largeur de bande, facteur Q et indexation des bandes CPB et espacement égal sur un axe logarithmique Les CPB sont équivalentes à un espacement de largeur égale en fréquence logarithmique. Si u = log(f), alors chaque bande couvre un Δu fixe. De nombreux spectres (par exemple de type 1/f) paraissent plus lisses et statistiquement plus stables en fréquence logarithmique. Formules des bords de bande à partir de la définition par moyenne géométrique (forme générale 1/b) L’IEC définit la fréquence centrale comme la moyenne géométrique des bords : fm = sqrt(f1 f2). [1] Pour des bandes de 1/b d’octave, le rapport de bords est généralement f2/f1 = G^(1/b), où G est le rapport d’octave. Alors : Pour le tiers d’octave base 10 (b = 3) : G = 10^(3/10). Le rapport entre centres adjacents est r = G^(1/3) = 10^(1/10) ≈ 1,258925 ; le multiplicateur de bord est k = 10^(1/20) ≈ 1,122018. Facteur Q et résolution : l’analyse en bandes d’octave est une analyse à Q constant On définit Q = fm / (f2 − f1). Pour les bandes CPB, Δf = f2 − f1 évolue avec fm, de sorte que Q ne dépend que de b et de G (et non de la fréquence). Référence rapide (base 10, fr = 1000 Hz) : Fraction d’octaveRapport de bande f2/f1Largeur de bande relative Δf/fmQ = fm/Δf1/11.9952620.7045921.4191/21.4125380.3471072.8811/31.2589250.2307684.3331/61.1220180.1151938.6811/121.0592540.05757317.369 Interprétation : pour le tiers d’octave, Q ≈ 4,33 et chaque bande a une largeur d’environ 23 % relativement à sa fréquence centrale. Des bandes plus fines (1/6, 1/12) offrent une résolution plus élevée mais une variance plus forte pour le bruit aléatoire et nécessitent généralement un moyennage plus long. Numérotation des bandes (indice entier) et énumération par formule Les implémentations utilisent souvent un indice de bande entier x. Dans l’IEC, x apparaît directement dans la formule de fréquence centrale : fm = fr * G^(x/b). [1] Cela fournit un moyen stable d’énumérer toutes les bandes couvrant une plage de fréquence cible et garantit des bords contigus, cohérents avec la norme. Pour la base 10 : donc et vous pouvez inverser par Figure 4 : facteur Q pour des largeurs de bande de fraction d’octave courantes (définition base 10) Deux significations de « 1/3 d’octave » : base 2 vs base 10—ne pas les mélanger Une partie de la littérature utilise la base 2 : les centres adjacents sont espacés de 2^(1/3). L’IEC 61260-1 et une grande partie de la pratique acoustique moderne utilisent la base 10 : les centres adjacents sont espacés de 10^(1/10). Un contrôle rapide : si les fréquences centrales nominales ressemblent à 1,0k → 1,25k → 1,6k → 2,0k (style R10), il s’agit probablement de la base 10. Définition mathématique des niveaux de bande : de l’intégration de la DSP au rapport en dB Vue en fréquence continue : intégrer la densité spectrale de puissance à l’intérieur de la bande Le niveau en bande d’octave est essentiellement l’intégrale de la densité spectrale de puissance sur une bande de fréquence. Pour la pression acoustique p(t) : Pour les vibrations (vitesse/accélération), la même logique s’applique avec des unités et des grandeurs de référence différentes. Point clé : comme le décibel est logarithmique, toute sommation ou tout moyennage doit d’abord être effectué dans le domaine linéaire de puissance/valeur quadratique moyenne. Deux implémentations discrètes : RMS par banque de filtres vs regroupement de bacs FFT/DSP Méthode par banque de filtres : y_b(t) = BandPass_b{x(t)}, puis calculer mean(y_b^2) comme valeur quadratique moyenne de bande (éventuellement avec moyennage temporel). Méthode de regroupement FFT/DSP : estimer S_pp(f) (par exemple via périodogramme/Welch), puis intégrer/sommer numériquement les bacs dans [f1, f2]. Pour des signaux longs et stationnaires, les résultats moyennés peuvent être très proches. Pour les transitoires, les balayages et les événements courts, ils diffèrent souvent. Soyez explicite sur le type de spectre dont vous disposez : amplitude, puissance, DSP (et dB/Hz) Spectre d’amplitude |X(f)| : unités d’amplitude (par exemple Pa), utile pour les composantes tonales/harmoniques. Spectre de puissance |X(f)|² : unités de valeur quadratique moyenne (Pa²). Densité spectrale de puissance (DSP) : valeur quadratique moyenne par hertz (Pa²/Hz), la plus courante pour le bruit. Parce que les niveaux en bandes d’octave représentent une valeur quadratique moyenne/une puissance de bande, vous devez, au final, intégrer/sommer en Pa² (ou équivalent), quelle que soit la représentation de départ du spectre. Résolution fréquentielle et spectres monolatéraux : Δf, 0..fs/2 et règle du « ×2 » L’espacement des bacs FFT est Δf = fs/N. Une approximation discrète typique est : Si vous utilisez un spectre monolatéral (0..fs/2), pour conserver l’énergie, vous multipliez typiquement par 2 tous les bacs non‑continus et non‑Nyquist (car la puissance des fréquences négatives est repliée sur le côté positif). Les différents logiciels gèrent ces conventions de manière variable, il faut donc aligner les définitions avant de comparer les résultats. Corrections de fenêtre : le gain cohérent (tons) et l’ENBW (bruit) sont différents L’application d’une fenêtre réduit le repli spectral mais modifie l’échelle : Pour l’amplitude des tons : corriger par le gain cohérent (CG), souvent CG = sum(w)/N. Pour le bruit/DSP large bande : corriger par la largeur de bande équivalente de bruit (ENBW), par exemple ENBW = fs·sum(w²)/(sum(w))². [9] Le CG contrôle l’amplitude de crête ; l’ENBW contrôle l’aire moyenne du plancher de bruit. Les niveaux en bandes d’octave sont des statistiques d’énergie et sont plus sensibles à l’ENBW. FenêtreGain cohérent (CG)ENBW (bacs)Rectangulaire1.0001.000Hann0.5001.500Hamming0.5401.363Blackman0.4201.727 Pondération partielle des bacs : que faire lorsque les bords de bande ne coïncident pas avec les bacs FFT Les bords de bande coïncident rarement exactement avec les fréquences de bac. Considérez la DSP comme approximativement constante dans chaque bac de largeur Δf, et pondérez les bacs de bord par leur fraction de recouvrement : Cela produit des niveaux de bande plus lisses et physiquement plus cohérents lorsque N ou les bords de bande changent. Figure 5 : schéma de pondération partielle des bacs lorsque les bords de bande ne sont pas alignés avec les bacs FFT Une formule unificatrice : les deux méthodes calculent ∫|H_b(f)|² S_xx(f) df La méthode par banque de filtres comme celle par regroupement de DSP peuvent toutes deux s’écrire sous la forme : Le regroupement avec filtre idéal (« brick‑wall ») correspond à |H_b|² égal à 1 dans [f1, f2] et à 0 en dehors. Un véritable filtre conforme aux normes présente une pente et une ondulation, c’est pourquoi les normes contraignent les masques et la largeur de bande effective. Agrégation de bandes : composer une octave à partir de tiers d’octave, et former des niveaux globaux Sous un partitionnement et une comptabilité d’énergie idéaux : Trois bandes de tiers d’octave adjacentes peuvent être combinées pour approximer une bande d’octave complète. La somme de toutes les énergies de bande sur une plage couverte donne l’énergie totale. Combinez toujours dans le domaine de l’énergie. Si L_i sont les niveaux de bande en dB, les énergies sont E_i = 10^(L_i/10). Alors : L’IEC 61260-1 indique que les résultats en bandes de fraction d’octave peuvent être combinés pour former des niveaux de bande plus larges. [1] Largeur de bande effective : pourquoi les normes la spécifient Les filtres réels ne sont pas des rectangles idéaux. Pour un bruit blanc (DSP constante S0), la valeur quadratique moyenne de sortie est : Pour des spectres non blancs tels que le bruit rose (DSP ~ 1/f), les normes peuvent définir une largeur de bande effective normalisée avec pondération afin de maintenir la comparabilité sur des spectres de bruit d’ingénierie typiques. [1] Conséquence pratique : un « hard‑binning » FFT suppose implicitement un filtre idéal en brique avec B_eff = (f2 − f1). Un filtre d’octave conforme présente des pieds de bande, de sorte que B_eff peut différer légèrement (et selon la classe). Pour faire correspondre les résultats, il faut soit approximer |H(f)|² de la norme dans le domaine fréquentiel, soit documenter la différence méthodologique. Pourquoi le tiers d’octave est privilégié (compromis entre mathématiques, perception et ingénierie) La densité d’information est « juste ce qu’il faut » : plus fine que l’octave, plus stable que des fractions très fines Une bande d’octave unique peut être trop grossière et masquer la forme spectrale ; des fractions très fines (par exemple 1/12, 1/24) peuvent être instables et coûteuses : Variance d’estimation plus élevée pour le bruit aléatoire (chaque bande capte moins d’énergie). Plus de calculs et une charge de rapport plus importante. Souvent plus de détails que ce que les réglementations ou systèmes de notation exigent. Le tiers d’octave est le compromis classique : résolution suffisante pour l’analyse d’ingénierie, stabilité suffisante pour les mesures normalisées et prise en charge étendue par les instruments et les logiciels. Psychoacoustique : les bandes critiques dans les fréquences moyennes sont proches du tiers d’octave De nombreuses références en psychoacoustique décrivent environ 24 bandes critiques sur la plage audible, et dans la région des fréquences moyennes, la largeur de bande critique est souvent proche de celle d’une bande de tiers d’octave. [7][8] Cela fait du tiers d’octave une représentation intermédiaire naturelle pour les problèmes liés au son perçu, tout en restant plus normalisée que les échelles Bark/ERB. Tirage direct des normes/applications : de nombreux flux de travail imposent une E/S en tiers d’octave Une fois que les principales normes définissent les entrées/sorties en tiers d’octave, les écosystèmes (instruments, logiciels, modèles de rapport) convergent autour de ce format. Exemples : Indices d’isolation acoustique des bâtiments : l’ISO 717-1 se réfère aux bandes de tiers d’octave pour le calcul des indices uniques. [5] Les paramètres d’acoustique des salles (par exemple temps de réverbération) sont couramment rapportés en bandes d’octave et de tiers d’octave (série ISO 3382). [6] Avantages supplémentaires de la base 10 : tableaux R10, 10 bandes/décade, lisibilité 10 bandes par décade : multiplier la fréquence par 10 correspond exactement à 10 pas de tiers d’octave (très pratique pour les tracés logarithmiques). Nombres préférentiels R10 : 1,00, 1,25, 1,60, 2,00, 2,50, 3,15, 4,00, 5,00, 6,30, 8,00 (×10^n) sont largement reconnus et faciles à communiquer. Comparée à la base 2, la notation décimale est moins lourde et réduit l’ambiguïté entre normes. L’analyse en bandes d’octave est généralement mise en œuvre soit par regroupement de bacs FFT, soit par banque de filtres. Poursuivez la lecture -> Guide d’analyse en bandes d’octave : regroupement FFT vs banque de filtres OpenTest intègre les deux méthodes. Téléchargez‑le et commencez dès maintenant -> ou remplissez le formulaire ci‑dessous ↓ pour planifier une démonstration en direct. Découvrez davantage de fonctionnalités et de cas d’application sur www.opentest.com. Références [1] IEC 61260-1:2014, extrait PDF (iTeh) : https://cdn.standards.iteh.ai/samples/13383/3c4ae3e762b540cc8111744cb8f0ae8e/IEC-61260-1-2014.pdf [2] ISO 266:1997, Acoustique - Fréquences préférentielles (ISO) : https://www.iso.org/obp/ui/ [3] ANSI S1.11-2004, aperçu PDF (ASA/ANSI) : https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BS1.11-2004.pdf [4] ANSI/ASA S1.11-2014/Part 1 / IEC 61260-1:2014, aperçu : https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BASA%2BS1.11-2014%2BPart%2B1%2BIEC%2B61260-1-2014%2B%28R2019%29.pdf [5] ISO 717-1:2020, résumé (mentionne l’utilisation de bandes de tiers d’octave) : https://www.iso.org/standard/77435.html [6] ISO 3382-2:2008, résumé (paramètres d’acoustique des salles) : https://www.iso.org/standard/36201.html [7] Aide Ansys : échelle de Bark et bandes critiques (mentionne une zone médiane proche du tiers d’octave) : https://ansyshelp.ansys.com/public/Views/Secured/corp/v252/en/Sound_SAS_UG/Sound/UG_SAS/bark_scale_and_critical_bands_179506.html [8] Simon Fraser University, Sonic Studio Handbook : Critical Band and Critical Bandwidth : https://www.sfu.ca/sonic-studio-webdav/cmns/Handbook5/handbook/Critical_Band.html [9] MathWorks : exemple de définition de l’ENBW : https://www.mathworks.com/help/signal/ref/enbw.html