Analyse en bandes d’octave : fondements mathématiques et principes d’ingénierie

L'analyse en bandes d'octave convertit des spectres détaillés en bandes d'octave et de tiers d'octave normalisées (1/1 et 1/3) en utilisant une largeur de bande à pourcentage constant sur un axe de fréquence logarithmique. Dans cet article, nous expliquons le fondement mathématique des CPB (bandes à pourcentage constant), pourquoi l'IEC 61260-1 et l'ANSI S1.11 définissent les bandes d'octave comme elles le font, et comment les niveaux de bande sont calculés en pratique (regroupement de bacs FFT vs RMS par banque de filtres). Objectif : obtenir des résultats répétables et comparables pour les mesures acoustiques, NVH et de conformité.

Qu'est-ce que l'analyse en bandes d'octave et à quel problème répond-elle ?

L'analyse en bandes d'octave est une famille de méthodes d'analyse de spectre qui partitionnent l'axe de fréquence, sur une échelle logarithmique, en bandes passe‑bande. Chaque bande présente un rapport constant entre ses fréquences de coupure supérieure et inférieure (largeur de bande à pourcentage constant, CPB). À l'intérieur de chaque bande, nous ignorons les fins détails du spectre en raies et nous nous concentrons sur l'énergie totale / la valeur RMS (ou la puissance) dans cette bande.

En d'autres termes, il ne s'agit pas de « ce qui se passe à chaque hertz », mais de « comment l'énergie est répartie sur des largeurs de bande relatives égales ».

Cette représentation correspond naturellement à l'audition humaine et à de nombreux systèmes d'ingénierie, dont la résolution fréquentielle est souvent plus proche d'une échelle relative (logarithmique) que d'une échelle en hertz fixe.

• C'est un format de rapport courant exigé par de nombreuses normes : les paramètres d'acoustique des salles, les indices d'isolation acoustique, le bruit environnemental, le bruit des machines, le bruit de vent/de roulement, etc. utilisent souvent les bandes de tiers d'octave (1/3).

Des hertz linéaires à la fréquence logarithmique : pourquoi les CPB ressemblent davantage à un langage d'ingénierie

L'utilisation de bacs de fréquence de largeur égale (par exemple tous les 10 Hz) pour accumuler l'énergie conduit à un comportement incohérent sur le spectre :

• Aux basses fréquences, un bac de 10 Hz peut être trop large et lisser les détails.
• Aux hautes fréquences, un bac de 10 Hz peut être trop étroit, ce qui entraîne une variance plus élevée et des estimations moins stables pour le bruit aléatoire.

En revanche, la largeur de bande CPB croît avec la fréquence (Δf ∝ f). Chaque bande couvre une variation relative similaire, ce qui améliore la stabilité et la répétabilité—des points essentiels pour les essais normalisés.

Une intuition visuelle : la largeur de bande augmente sur un axe linéaire, mais reste uniforme sur un axe logarithmique

Figure 1 : les mêmes bandes de tiers d'octave tracées sur un axe de fréquence linéaire—la largeur de bande paraît plus grande aux hautes fréquences

Chaque segment horizontal représente une bande de tiers d'octave [f1, f2] ; la petite marque verticale est la fréquence centrale de la bande fm. Sur un axe linéaire, les bandes de plus haute fréquence paraissent plus larges.

Figure 2 : les mêmes bandes sur un axe de fréquence logarithmique—les bandes deviennent régulièrement espacées (l'essence des CPB)

Une fois que l'axe horizontal est logarithmique, ces bandes apparaissent de largeur/espacement égaux ; c'est exactement ce que signifie « largeur de bande à pourcentage constant ».

Ces deux figures capturent l'idée centrale : l'analyse en bandes d'octave utilise des pas égaux sur une échelle de fréquence logarithmique, et non des pas égaux en hertz.

Normes et terminologie : que spécifient réellement les systèmes IEC/ANSI/ISO ?

En pratique, « faire une analyse en bandes de tiers d'octave » est soumis à plus de contraintes que les seuls bords de bande. Les normes spécifient (ou impliquent fortement) : la manière dont les fréquences centrales sont définies (exactes vs nominales), la définition du rapport d'octave (base 10 vs base 2), les tolérances/classes de filtres, et même les conventions de mesure/de moyennage utilisées pour former les niveaux de bande.

Points clés de l'IEC 61260-1:2014 : rapport en base 10, fréquence de référence et formules de fréquence centrale

L'IEC 61260-1:2014 est une spécification clé pour les filtres de bandes d'octave et de bandes de fraction d'octave. Elle adopte une conception en base 10 : le rapport de fréquence d'octave est G = 10^(3/10) ≈ 1,99526 (très proche de 2, mais pas exactement égal à 2). La fréquence de référence est fr = 1000 Hz. Elle fournit des formules pour les fréquences médianes (centrales) exactes et précise que la moyenne géométrique des fréquences de bord de bande est égale à la fréquence centrale. [1]

Formules clés (réorganisées à partir de la norme) : [1]

Si le dénominateur fractionnaire b est impair (par exemple 1, 3, 5, …) :

Si b est pair (par exemple 2, 4, 6, …) :

Et toujours :

Pourquoi le cas b pair semble‑t‑il « décalé d'un demi‑pas » ? Intuitivement, la grille des fréquences centrales est régulièrement espacée sur log(f). Lorsque b est pair, l'IEC choisit un décalage d'un demi‑pas par rapport à fr afin que les bords de bande s'alignent plus proprement avec les conventions de rapport courantes. En pratique, une mise en œuvre robuste consiste à générer la séquence exacte de fm à l'aide de la formule de la norme, puis à calculer les bords via f1 = fm / G^(1/(2b)) et f2 = fm * G^(1/(2b)), et seulement ensuite à étiqueter les bandes avec les fréquences nominales habituelles.

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Bords de bande, fréquence centrale et désignateur de largeur de bande b

Les normes utilisent couramment 1/b comme « désignateur de largeur de bande » : 1/1 correspond à une octave, 1/3 à un tiers d'octave, etc. [1] Une fois (G, b, fr) choisis, l'ensemble complet de bandes (centres et bords) est fixé mathématiquement.

Exacte vs nominale : pourquoi deux « fréquences centrales » apparaissent‑elles pour la même bande ?

Les fréquences centrales « exactes » sont utilisées pour les définitions mathématiquement cohérentes et la conception des filtres ; les valeurs « nominales » servent à l'étiquetage et aux rapports. [1] L'ISO 266:1997 définit les fréquences préférentielles pour les mesures acoustiques à partir des séries de nombres préférentiels ISO 3 (R10), référencées à 1000 Hz. [2]

En conséquence, la suite géométrique exacte est généralement étiquetée avec des valeurs nominales familières telles que :

20, 25, 31,5, 40, 50, 63, 80, 100, 125, 160, …, 1k, 1,25k, 1,6k, 2k, 2,5k, 3,15k, …, 20k.

Conseil de mise en œuvre : calculez les bords à partir des fréquences exactes ; arrondissez/affichez uniquement sous forme nominale. Cela permet d'éviter de s'écarter de la norme.

Base 10 vs base 2 : pourquoi les normes n'exigent‑elles pas une octave exactement 2:1 ?

Bien que l'« octave » soit souvent considérée comme un rapport 2:1, l'IEC 61260-1 spécifie la base 10 (G = 10^(3/10)) plutôt que G = 2. Les principales motivations incluent :

• Alignement avec les séries décimales de nombres préférentiels (l'ISO 266 est liée à R10). [2]
• Homogénéité internationale : l'IEC 61260-1:2014 spécifie la base 10 et souligne que les conceptions en base 2 ont moins de chances de rester conformes loin de la fréquence de référence. [1]

En base 10, un tiers d'octave correspond à 10^(1/10) ≈ 1,258925 (interprétable aussi comme 1/10 de décade), ce qui donne une correspondance simple : 10 bandes de tiers d'octave par décade.

« 10 bandes de tiers d'octave = 1 décade » : pourquoi est‑ce important ?

Avec un espacement en tiers d'octave base 10, chaque pas multiplie la fréquence par r = 10^(1/10). Donc :

• 10 bandes de tiers d'octave consécutives multiplient la fréquence exactement par 10 (une décade).
• Cela correspond aux conventions ISO 266/R10 et simplifie les tableaux, la représentation graphique et la communication.
• La normalisation valorise autant la lisibilité et la cohérence que la pureté mathématique brute.

Figure 3 : espacement en tiers d'octave base 10—10 pas de rapport égaux par décade (×10 en fréquence)

ANSI S1.11 / ANSI/ASA S1.11 : classes de tolérance et avertissement concernant les signaux transitoires

L'ANSI S1.11 (et les adoptions ultérieures ANSI/ASA alignées sur l'IEC 61260-1) spécifient les exigences de performance pour les jeux de filtres et les analyseurs, y compris les classes de tolérance (souvent classes 0/1/2 selon l'édition). [3][4]

Un avertissement pratique dans les documents ANSI : pour les signaux transitoires, différentes implémentations conformes peuvent produire des résultats différents. [3] Cela met en évidence que la réponse temporelle (délai de groupe, oscillations, constantes de temps de moyennage) est importante pour l'analyse des transitoires.

Que contrôlent réellement la classe, le masque et la largeur de bande effective ?

« J'ai utilisé des bandes de tiers d'octave » ne concerne pas seulement les bords de bande nominaux. Les normes visent à garantir que différents instruments/algorithmes produisent des résultats comparables en contraignant :

• L'espacement fréquentiel : séquence de fréquences centrales et définitions des bords (base 10, exacte/nominale, f1/f2).
• La tolérance de la réponse en magnitude (masque) : ondulation admissible près de la bande passante et atténuation requise loin du centre.
• La cohérence de l'énergie pour le bruit large bande : contraintes sur la largeur de bande effective afin que les niveaux de bande soient comparables entre implémentations.

La largeur de bande effective est importante parce que les filtres réels ne sont pas des murs de brique idéaux. Pour le bruit large bande, l'énergie de sortie dépend de ∫|H(f)|² S(f)df. Les différences d'ondulation dans la bande passante, de pieds de bande et de pente d'atténuation peuvent provoquer des décalages systématiques. Les normes contraignent la largeur de bande effective pour maintenir ces décalages dans des limites acceptables. [1][3][4]

L'avertissement concernant les transitoires n'est pas une contradiction : les masques contraignent principalement le comportement fréquentiel à l'état stationnaire, tandis que les transitoires dépendent de la phase/du délai de groupe, des oscillations et du moyennage temporel. [3]

Mathématiques : définitions de bande, largeur de bande, facteur Q et indexation des bandes

CPB et espacement égal sur un axe logarithmique

Les CPB sont équivalentes à un espacement de largeur égale en fréquence logarithmique. Si u = log(f), alors chaque bande couvre un Δu fixe. De nombreux spectres (par exemple de type 1/f) paraissent plus lisses et statistiquement plus stables en fréquence logarithmique.

Formules des bords de bande à partir de la définition par moyenne géométrique (forme générale 1/b)

L'IEC définit la fréquence centrale comme la moyenne géométrique des bords : fm = sqrt(f1 f2). [1] Pour des bandes de 1/b d'octave, le rapport de bords est généralement f2/f1 = G^(1/b), où G est le rapport d'octave. Alors :

Pour le tiers d'octave base 10 (b = 3) : G = 10^(3/10). Le rapport entre centres adjacents est r = G^(1/3) = 10^(1/10) ≈ 1,258925 ; le multiplicateur de bord est k = 10^(1/20) ≈ 1,122018.

Facteur Q et résolution : l'analyse en bandes d'octave est une analyse à Q constant

On définit Q = fm / (f2 − f1). Pour les bandes CPB, Δf = f2 − f1 évolue avec fm, de sorte que Q ne dépend que de b et de G (et non de la fréquence).

Référence rapide (base 10, fr = 1000 Hz) :

Interprétation : pour le tiers d'octave, Q ≈ 4,33 et chaque bande a une largeur d'environ 23 % relativement à sa fréquence centrale. Des bandes plus fines (1/6, 1/12) offrent une résolution plus élevée mais une variance plus forte pour le bruit aléatoire et nécessitent généralement un moyennage plus long.

Numérotation des bandes (indice entier) et énumération par formule

Les implémentations utilisent souvent un indice de bande entier x. Dans l'IEC, x apparaît directement dans la formule de fréquence centrale : fm = fr * G^(x/b). [1] Cela fournit un moyen stable d'énumérer toutes les bandes couvrant une plage de fréquence cible et garantit des bords contigus, cohérents avec la norme.

Pour la base 10 :

donc

et vous pouvez inverser par

Figure 4 : facteur Q pour des largeurs de bande de fraction d'octave courantes (définition base 10)

Deux significations de « 1/3 d'octave » : base 2 vs base 10—ne pas les mélanger

Une partie de la littérature utilise la base 2 : les centres adjacents sont espacés de 2^(1/3). L'IEC 61260-1 et une grande partie de la pratique acoustique moderne utilisent la base 10 : les centres adjacents sont espacés de 10^(1/10). Un contrôle rapide : si les fréquences centrales nominales ressemblent à 1,0k → 1,25k → 1,6k → 2,0k (style R10), il s'agit probablement de la base 10.

Définition mathématique des niveaux de bande : de l'intégration de la DSP au rapport en dB

Vue en fréquence continue : intégrer la densité spectrale de puissance à l'intérieur de la bande

Le niveau en bande d'octave est essentiellement l'intégrale de la densité spectrale de puissance sur une bande de fréquence. Pour la pression acoustique p(t) :

Pour les vibrations (vitesse/accélération), la même logique s'applique avec des unités et des grandeurs de référence différentes.

Point clé : comme le décibel est logarithmique, toute sommation ou tout moyennage doit d'abord être effectué dans le domaine linéaire de puissance/valeur quadratique moyenne.

Deux implémentations discrètes : RMS par banque de filtres vs regroupement de bacs FFT/DSP

Méthode par banque de filtres : y_b(t) = BandPass_b{x(t)}, puis calculer mean(y_b^2) comme valeur quadratique moyenne de bande (éventuellement avec moyennage temporel).

Méthode de regroupement FFT/DSP : estimer S_pp(f) (par exemple via périodogramme/Welch), puis intégrer/sommer numériquement les bacs dans [f1, f2].

Pour des signaux longs et stationnaires, les résultats moyennés peuvent être très proches. Pour les transitoires, les balayages et les événements courts, ils diffèrent souvent.

Soyez explicite sur le type de spectre dont vous disposez : amplitude, puissance, DSP (et dB/Hz)

• Spectre d'amplitude |X(f)| : unités d'amplitude (par exemple Pa), utile pour les composantes tonales/harmoniques.
• Spectre de puissance |X(f)|² : unités de valeur quadratique moyenne (Pa²).
• Densité spectrale de puissance (DSP) : valeur quadratique moyenne par hertz (Pa²/Hz), la plus courante pour le bruit.

Parce que les niveaux en bandes d'octave représentent une valeur quadratique moyenne/une puissance de bande, vous devez, au final, intégrer/sommer en Pa² (ou équivalent), quelle que soit la représentation de départ du spectre.

Résolution fréquentielle et spectres monolatéraux : Δf, 0..fs/2 et règle du « ×2 »

L'espacement des bacs FFT est Δf = fs/N. Une approximation discrète typique est :

Si vous utilisez un spectre monolatéral (0..fs/2), pour conserver l'énergie, vous multipliez typiquement par 2 tous les bacs non‑continus et non‑Nyquist (car la puissance des fréquences négatives est repliée sur le côté positif). Les différents logiciels gèrent ces conventions de manière variable, il faut donc aligner les définitions avant de comparer les résultats.

Corrections de fenêtre : le gain cohérent (tons) et l'ENBW (bruit) sont différents

L'application d'une fenêtre réduit le repli spectral mais modifie l'échelle :

• Pour l'amplitude des tons : corriger par le gain cohérent (CG), souvent CG = sum(w)/N.
• Pour le bruit/DSP large bande : corriger par la largeur de bande équivalente de bruit (ENBW), par exemple ENBW = fs·sum(w²)/(sum(w))². [9]

Le CG contrôle l'amplitude de crête ; l'ENBW contrôle l'aire moyenne du plancher de bruit. Les niveaux en bandes d'octave sont des statistiques d'énergie et sont plus sensibles à l'ENBW.

Pondération partielle des bacs : que faire lorsque les bords de bande ne coïncident pas avec les bacs FFT

Les bords de bande coïncident rarement exactement avec les fréquences de bac. Considérez la DSP comme approximativement constante dans chaque bac de largeur Δf, et pondérez les bacs de bord par leur fraction de recouvrement :

Cela produit des niveaux de bande plus lisses et physiquement plus cohérents lorsque N ou les bords de bande changent.

Figure 5 : schéma de pondération partielle des bacs lorsque les bords de bande ne sont pas alignés avec les bacs FFT

Une formule unificatrice : les deux méthodes calculent ∫|H_b(f)|² S_xx(f) df

La méthode par banque de filtres comme celle par regroupement de DSP peuvent toutes deux s'écrire sous la forme :

Le regroupement avec filtre idéal (« brick‑wall ») correspond à |H_b|² égal à 1 dans [f1, f2] et à 0 en dehors. Un véritable filtre conforme aux normes présente une pente et une ondulation, c'est pourquoi les normes contraignent les masques et la largeur de bande effective.

Agrégation de bandes : composer une octave à partir de tiers d'octave, et former des niveaux globaux

Sous un partitionnement et une comptabilité d'énergie idéaux :

• Trois bandes de tiers d'octave adjacentes peuvent être combinées pour approximer une bande d'octave complète.
• La somme de toutes les énergies de bande sur une plage couverte donne l'énergie totale.

Combinez toujours dans le domaine de l'énergie.

Si L_i sont les niveaux de bande en dB, les énergies sont E_i = 10^(L_i/10). Alors :

L'IEC 61260-1 indique que les résultats en bandes de fraction d'octave peuvent être combinés pour former des niveaux de bande plus larges. [1]

Largeur de bande effective : pourquoi les normes la spécifient

Les filtres réels ne sont pas des rectangles idéaux. Pour un bruit blanc (DSP constante S0), la valeur quadratique moyenne de sortie est :

Pour des spectres non blancs tels que le bruit rose (DSP ~ 1/f), les normes peuvent définir une largeur de bande effective normalisée avec pondération afin de maintenir la comparabilité sur des spectres de bruit d'ingénierie typiques. [1]

Conséquence pratique : un « hard‑binning » FFT suppose implicitement un filtre idéal en brique avec B_eff = (f2 − f1). Un filtre d'octave conforme présente des pieds de bande, de sorte que B_eff peut différer légèrement (et selon la classe). Pour faire correspondre les résultats, il faut soit approximer |H(f)|² de la norme dans le domaine fréquentiel, soit documenter la différence méthodologique.

Pourquoi le tiers d'octave est privilégié (compromis entre mathématiques, perception et ingénierie)

La densité d'information est « juste ce qu'il faut » : plus fine que l'octave, plus stable que des fractions très fines

Une bande d'octave unique peut être trop grossière et masquer la forme spectrale ; des fractions très fines (par exemple 1/12, 1/24) peuvent être instables et coûteuses :

• Variance d'estimation plus élevée pour le bruit aléatoire (chaque bande capte moins d'énergie).
• Plus de calculs et une charge de rapport plus importante.
• Souvent plus de détails que ce que les réglementations ou systèmes de notation exigent.

Le tiers d'octave est le compromis classique : résolution suffisante pour l'analyse d'ingénierie, stabilité suffisante pour les mesures normalisées et prise en charge étendue par les instruments et les logiciels.

Psychoacoustique : les bandes critiques dans les fréquences moyennes sont proches du tiers d'octave

De nombreuses références en psychoacoustique décrivent environ 24 bandes critiques sur la plage audible, et dans la région des fréquences moyennes, la largeur de bande critique est souvent proche de celle d'une bande de tiers d'octave. [7][8] Cela fait du tiers d'octave une représentation intermédiaire naturelle pour les problèmes liés au son perçu, tout en restant plus normalisée que les échelles Bark/ERB.

Tirage direct des normes/applications : de nombreux flux de travail imposent une E/S en tiers d'octave

Une fois que les principales normes définissent les entrées/sorties en tiers d'octave, les écosystèmes (instruments, logiciels, modèles de rapport) convergent autour de ce format. Exemples :

• Indices d'isolation acoustique des bâtiments : l'ISO 717-1 se réfère aux bandes de tiers d'octave pour le calcul des indices uniques. [5]
• Les paramètres d'acoustique des salles (par exemple temps de réverbération) sont couramment rapportés en bandes d'octave et de tiers d'octave (série ISO 3382). [6]

Avantages supplémentaires de la base 10 : tableaux R10, 10 bandes/décade, lisibilité

• 10 bandes par décade : multiplier la fréquence par 10 correspond exactement à 10 pas de tiers d'octave (très pratique pour les tracés logarithmiques).
• Nombres préférentiels R10 : 1,00, 1,25, 1,60, 2,00, 2,50, 3,15, 4,00, 5,00, 6,30, 8,00 (×10^n) sont largement reconnus et faciles à communiquer.
• Comparée à la base 2, la notation décimale est moins lourde et réduit l'ambiguïté entre normes.

L'analyse en bandes d'octave est généralement mise en œuvre soit par regroupement de bacs FFT, soit par banque de filtres. Poursuivez la lecture -> Guide d'analyse en bandes d'octave : regroupement FFT vs banque de filtres

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Références

[1] IEC 61260-1:2014, extrait PDF (iTeh) : https://cdn.standards.iteh.ai/samples/13383/3c4ae3e762b540cc8111744cb8f0ae8e/IEC-61260-1-2014.pdf

[2] ISO 266:1997, Acoustique – Fréquences préférentielles (ISO) : https://www.iso.org/obp/ui/

[3] ANSI S1.11-2004, aperçu PDF (ASA/ANSI) : https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BS1.11-2004.pdf

[4] ANSI/ASA S1.11-2014/Part 1 / IEC 61260-1:2014, aperçu : https://webstore.ansi.org/preview-pages/ASA/preview_ANSI%2BASA%2BS1.11-2014%2BPart%2B1%2BIEC%2B61260-1-2014%2B%28R2019%29.pdf

[5] ISO 717-1:2020, résumé (mentionne l'utilisation de bandes de tiers d'octave) : https://www.iso.org/standard/77435.html

[6] ISO 3382-2:2008, résumé (paramètres d'acoustique des salles) : https://www.iso.org/standard/36201.html

[7] Aide Ansys : échelle de Bark et bandes critiques (mentionne une zone médiane proche du tiers d'octave) : https://ansyshelp.ansys.com/public/Views/Secured/corp/v252/en/Sound_SAS_UG/Sound/UG_SAS/bark_scale_and_critical_bands_179506.html

[8] Simon Fraser University, Sonic Studio Handbook : Critical Band and Critical Bandwidth : https://www.sfu.ca/sonic-studio-webdav/cmns/Handbook5/handbook/Critical_Band.html

[9] MathWorks : exemple de définition de l'ENBW : https://www.mathworks.com/help/signal/ref/enbw.html